Сириусе не так много сказано в каноне, но совершенно точно, что он ушёл из дома в шестнадцать лет и его приютили родители Джеймса Поттера. А затем Сириусу подарил дом и некоторые деньги дядя Альфард к совершеннолетию. Впрочем, согласно Поттер-вики Альфард Блэк умер до 1979 года, а это не такой уж и большой разбег в годах между 1976 (совершеннолетие Сириуса). Так что с тем же успехом дядя мог просто завещать всё своё небогатое состояние Сириусу, подгадав со своей смертью к его совершеннолетию (или деньги и дом достались Сириусу после магического совершеннолетия).

Считайте это авторским произволом, но я вижу сильную разницу между Сириусом из третьей книги и Сириусом в последующих. Ну и эта странная смерть. Я считаю, что ключевым моментом для изменения Сириуса послужила сцена у озера, когда дементоры чуть не выпили его душу. Вроде именно, что «чуть», но я считаю, что душа Сириуса была серьёзно повреждена. Данное событие сравнимо с отделением крестража: когда хозяин покалеченной души становится не совсем вменяемым, теряет часть человеческих черт, привычек, а какие-то черты наоборот заполоняют всё оставшееся. Не зря крестраж «самое ужасное чёрное колдовство». Поэтому лёгкое сумасшествие Сириуса не приобретено в тюрьме, а случилось чуть позже, на свободе, когда из него чуть не выпили душу дементоры.

Что касается капиталов, то мне кажется, что всё не так просто. В третьей книге Сириус никому не нужен, скрывается в пещерах, при том, что Дамблдор как бы знает о невиновности Сириуса, но никакого хода делу не дали. Хотя были свидетели и прочее. Но тут не всё так просто и инициировать апелляцию должен был, скорее всего, кто-то из членов семьи (или сам Сириус). Но незнание законов не освобождает от ответственности. А если ещё законы и процедуры целенаправленно не доводить до сведения...

Потом через два года внезапно открывает особняк «Ордену Феникса» и весь из себя довольный Сириус сидит там как на цепи, позволяя выкидывать всё нехорошее и разворовывать дом. То есть, скорее всего, обнаружили, что особняк Блэков остался Сириусу в наследство, его тут же нашли и использовали по назначению — чтобы пользу приносил. При этом в шестой книге Дамблдор лично пришёл к Гарри и попросил наследовать дом и эльфа, чтобы тот не достался Беллатрикс Лестрейндж по праву кровного родства с Блэками. Конечно, это было хорошо объяснено утечкой информации, но... Много ли они там напланировали? Дамблдор даже ближайшим соратникам не говорил о планах на Гарри, крестражах и всём важном. И при этом знал, что в ближайшее время парень умрёт, чтобы подставиться об аваду Волдеморта. Вряд ли это была забота о будущем Поттера. Скорее, просто привычка ничего не упускать и не отдавать, если можно оставить.
При этом я не думаю, что у Сириуса было много денег. Его точно отрезали от капитала, и в лучшем случае он мог получать какие-то небольшие проценты или вроде пособия — только на еду. Но он в итоге остался последним Блэком, так что его наследники могли получить всё состояние этой некогда обширной и могучей семьи.

Ну и вдобавок, думаю, что Сириус Блэк был магическим опекуном Гарри (а вовсе не Дамблдор или кто-то ещё), так как мог давать ему разрешения на те же прогулки в Хогсмид, даже будучи беглым преступником, как бы вне закона.